ddn 离散动力学性质和社会 1607 - 887 x 1026 - 0226 Hindawi出版公司 171234年 10.1155 / 2010/171234 171234年 研究文章 振动标准二阶差分方程的解与强迫项 琴 程ydF4y2Ba 1 甄 金 2 张 光 1 数学与计算机科学学院 大同大学 大同 山西037009年 中国 sxdtdx.edu.cn 2 数学系 中国北方大学 太原 山西030051年 中国 nuc.edu.cn 2010年 25 11 2010年 2010年 24 04 2010年 21 10 2010年 2010年 版权©2010陈慧琴却和金甄。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

我们将考虑振动标准强迫项的二阶差分方程 Δ ( 一个 n Δ ( x n + λ x n − τ ) ) + 问 n x n − σ = r n ( n ≥ 0 )。我们建立充分条件,保证每一个解决方案是振荡或最终正解收敛于零。

在过去的三十年里,人们越来越感兴趣的研究振荡和二阶差分方程解的渐近性态(见[ 1- - - - - - 11])。在[ 1),Arul Thandapani方程 给一些正解存在的充分条件。在[ 3],猎隼方程 给一些充分条件,保证每一个解决方案是振荡。这一趋势后,我们关心的是振荡的标准解决方案强迫项的二阶差分方程 在哪里 { 一个 n } 是一个积极的序列, { 问 n } 是一个非负序列,而不是对所有大型等于零吗 n , { r n } 是一个真正的序列, λ 是一个实数, σ , τ 非负整数, μ = 马克斯 { σ , τ } 。

一个解决方案 { x n } ( 3)最终被认为是积极的 x n > 0 对于所有大 n 并最终-如果 x n < 0 对于所有大 n 。方程( 3)据说是振荡如果最终它最终既不积极也不消极。

为了获得我们的结论,我们首先给出两个引理。

<年代t一个tement id="lem1"> 引理0.1。

如果差异不平等 振荡,差分方程 振荡。

否则,如果 5)最终正解,然后( 4)最终正解;这是矛盾的。

<年代t一个tement id="lem2"> 引理0.2。

假设 { x n } 是一个最终正解( 3), λ ≥ 0 ,

∑ n = 1 ∞ ( 1 / 一个 n ) = + ∞ ,

集 z n = x n + λ x n - - - - - - τ 。然后 z n > 0 和 lim n → ∞ 一个 n Δ z n = 0

证明。

假设 { x n } 是一个最终正解( 3),然后存在 n 1 > μ ,这样 x n > 0 , x n - - - - - - τ > 0 , x n - - - - - - σ > 0 为 n > n 1 ,然后 z n > 0 为 n > n 1 。通过总结( 3) n 1 来 n ,我们获得 从( 6),我们知道 lim n → ∞ ∑ n = n 1 n 问 年代 x 年代 - - - - - - σ = α ,在那里 α是一个积极的有限数量还是 α = + ∞ 。因此 lim n → ∞ 一个 n Δ z n = β , β是一个有限还是 β = - - - - - - ∞ 。

如果 β < c < 0 ( c 是一个常数),那么存在吗 n 2 ≥ n 1 , 一个 n Δ z n ≤ c 为 n ≥ n 2 ,所以 这是相反的 z n > 0 。

如果 β > 0 ,然后存在 n 3 ≥ n 1 , 一个 n Δ z n > β / 2 为 n ≥ n 3 ;因此, 因此, lim n → ∞ x n = ∞ , lim n → ∞ x n - - - - - - σ = ∞ ;因此,存在 n 4 ≥ n 3 , x n ≥ 米 , x n - - - - - - σ ≥ 米 ( 米 > 0 ) n ≥ n 4 。通过总结( 3) n 4 ,我们获得 作为 n → ∞ 的右边( 9)是有界的,但左边( 9)往往 ∞ ;这是矛盾的。

然后 β = 0 ;因此 lim n → ∞ 一个 n Δ z n = 0 。这就完成了证明。

通过引理 0.2,我们获得以下。

<年代t一个tement id="thm1"> 定理0.3。

如果条件(我),(2),(3)持有 { x n } 是一个最终正解( 3),然后 lim n → ∞ x n = 0 。

证明。

利用( 6)和引理的结论 0.2,我们知道 所以 lim n → ∞ x n = 0 。如果不是,假设 lim n → ∞ x n = l > 0 ,然后存在 n 5 > n 1 , x n ≥ l / 2 > 0 为 n > n 5 。现在的替代品 x n ≥ l / 2 > 0 为 x n 在( 6),我们获得一个相反。这就完成了证明。

定理0.4。

如果条件(我),(2),(3)举行,让 如果 { w n } 振荡,那么( 3)是振荡。

证明。

假设 { x n } 是一个最终正解( 3),然后存在 n 1 > μ , x n > 0 , x n - - - - - - τ > 0 , x n - - - - - - σ > 0 为 n ≥ n 1 。从( 6),我们有 让 n → ∞ 利用引理 0.2,我们得到 或 通过总结( 14) n 1 来 n ,我们获得 针对定理 0.3,我们知道 lim n → ∞ x n = 0 ,那么存在一个序列 { n k } ,这样 lim k → ∞ n k = ∞ , lim k → ∞ x n k - - - - - - σ = 0 , lim k → ∞ x n k = 0 ;通过( 15),我们有 所以 这表明 { w n } 建立,这是一个矛盾。这就完成了证明。

的振荡 { w n } 仅仅是振荡的充分条件( 3)。下面的例子可以说明这一点。

<年代t一个tement id="ex1"> 例0.5。

考虑到差分方程 在这里, w n = ∑ 年代 = n ∞ 年代 ( 1 / ( 年代 - - - - - - 1 ) + 1 / 年代 + 1 / ( 年代 + 1 ) ) > 0 建立,其他条件(我),(2),(3)满意。方程( 18)非振动解 x n = ( 1 / n ) → 0 ( n → ∞ ) 。

例0.6。

考虑到差分方程 在这里, w n = ∑ 年代 = n ∞ ( - - - - - - 1 ) 年代 振荡,条件(我),(2),(3)满意。方程( 19)是振荡。

例0.7。

考虑到差分方程 在这里, w n = ∑ 年代 = n ∞ 1 > 0 建立,其他条件(我),(2),(3)满意。但是( 20.)振荡的解决方案 x n = ( - - - - - - 1 ) n 。

备注:

当 λ = 0 ,定理 0.3和 0.4仍然保持。

讨论了 λ ≥ 0 。我们有以下的结论 λ < 0 。集 如果 { x n } 是一个最终正解( 3),然后存在 T > μ , z n < x n 为 n > T 。因此, 因此,我们获得以下

定理0.8。

作为 λ < 0 ,如果不平等差异( 4)是振荡,然后差分方程( 3)是振荡。

确认

这项工作是由中国国家自然科学基金(批准号60771026),山'xi省国际合作项目(批准号2010081005),山'xi省自然科学基金(批准号2010011007)。