JOPTI 杂志上的优化 2314 - 6486 2356 - 752 x Hindawi 10.1155 / 2018/9328103 9328103 研究文章 HybridHAM:一种新颖的混合启发式寻找哈密顿循环 http://orcid.org/0000 - 0001 - 6618 - 6758 Seeja k·R。 1 他 小君 计算机科学与工程系 英迪拉·甘地印度科技大学 Kashmere门 新德里110006年 印度 igdtuw.ac.in 2018年 16 10 2018年 2018年 09年 05年 2018年 07年 09年 2018年 25 09年 2018年 16 10 2018年 2018年 版权©2018 K。r . Seeja。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

哈密顿周期问题是最组合探索的问题之一。是一个np完全问题,启发式方法是发现是更强大的比指数时间精确算法。提出一种有效的混合启发式,坐在之间的复杂的可靠方法快和简单的方法。该算法结合了贪婪,旋转变换和不可到达的顶点启发式在三个阶段工作。在第一阶段,一个初始路径是由使用贪婪的深度优先搜索。这个初始路径然后扩展到哈密顿路径在第二阶段通过使用旋转变换和贪婪的深度优先搜索。第三阶段将哈密顿路径转换为哈密顿循环利用旋转变换。该方法能找到哈密顿周期从一组图表从文献收集,所有的哈密顿实例TSPLIB中给出顶点(1000年至5000年),和一些实例FHCP挑战。此外,该算法具有O (n3)最坏时间复杂度。算法的性能比较先进的算法和发现HybridHAM优于他人的运行时间。

 大学拨款委员会 F.No.42-136/2013 (SR) 1。介绍

哈密顿周期问题(HCP)是识别一个周期在一个无向图连通图中所有顶点。它被认为是最受欢迎的np完全问题的子问题,旅行推销员问题(TSP),问题是要找到最小加权哈密顿循环。哈密顿周期有很多应用,比如重建基因组序列,解决游戏像Icosian,找到棋盘上的骑士之旅,发现圆形正则图的嵌入。没有单一的高效算法,这个问题至今为止。最先进的算法主要分为两种:指数时间穷举搜索算法和多项式时间的启发式算法。而第一类担保给予解决方案,后者没有。后者给了解决方案在充分相比更少的时间在大多数情况下。第一类的算法通常找到一些有效的剪枝规则减少搜索空间,从而提高运行时间,而第二类找到一些一般性的重击规则寻找尽可能多的问题实例的解决方案,用更少的时间。本研究的目的是设计一个启发式更快比建立复杂的启发式,但比快速技术更可靠。

许多定理可以在文献中找到,给的必要和充分条件 1- - - - - - 4为哈密顿循环。这些条件是用于检查是否图为哈密顿。一个良好的学习 5)对这些定理和算法给出了解决HCP Vandegriend &罗勒。鲁宾和弗兰克( 6)提出了一个穷举搜索方法寻找所有哈密顿路径或周期直接或无向图。Christophides [ 7)提出了一个多路径算法与指数又一个智能搜索算法的复杂性。Christophides算法改善了Kocay威廉& ( 8)提出了两个操作来修剪搜索空间。圆形石堡( 9)提出了一种回溯搜索算法,使用低学位的启发式选择下一个顶点。Ejov et al ( 10)解决了HCP通过求解方程来自邻图的矩阵。即使他们能找到的长周期non-Hamiltonian图的情况下,他们不能减少指数时间复杂性。Posa的算法( 11)被认为是HCP的基础算法的启发式算法。Posa旋转变换的概念和它的变体形成之后几乎所有的启发式算法的基础上提出的。Angluin和勇敢的 12)提出了一个更加复杂的转换为有向图,随着旋转变换是不适合有向图。Bollobas et al。 13)提出了哈密顿循环算法称为火腿,用旋转变换和循环扩展。各种版本的火腿算法如SparseHam [ 14]和HideHam [ 15)也提出了不同类型的图表。Brunacci [ 16DB2和DB2A]提出的两种算法,考虑HCP TSP的版本和nonedges高度加权边缘。DB2A算法修改的DBA算法有向图,有向图转化为无向图。许多TSP启发式喜欢著名的Lin-Kernighan启发式( 17, 18)使用了一种叫做“k-opt”转换( 19, 20.),这是一个交换k边。Baniasadi et al。 21)提出了一个“蛇梯棋”启发式求解HCP灵感来自k-opt转换。很少有发表HCP启发式,坐在之间的“中间”区域复杂的可靠的启发式和非常简单的(通常是线性或二次时间)方法。

提出的启发式是贪婪的结合深度优先搜索,不可到达的顶点,启发式和旋转变换。贪婪的深度优先搜索大大降低了运行时间。搜索是贪婪的,因为它总是选择既低程度顶点扩展路径。而不可到达的顶点启发式减少的可能性达到死胡同,旋转转换有助于走出死胡同。因此该方法比复杂的精确算法更快和更可靠的比启发式越快。

 2。材料和方法 2.1。哈密顿周期问题

哈密顿循环是一个循环连接所有的顶点在一个给定的图只有一次。一个包含至少一个哈密顿图周期称为哈密顿图。这个优化问题可以正式定义如下:

给定一个图G = (E, V), E是图的边的集合,V是图的顶点的集合 | V | = n 。

问题是要找到一个周期,HC = (v1,v2,………, v n ),( v 我 , v 我 + 1 )和( v 1 , v n E)的元素。

这是一个困难的问题,吸引了两个数学家和计算机科学家。它被认为是一个强大的代表np完全问题。

 2.2。贪婪的深度优先搜索

的大型搜索空间HCP可以探索明智的广度或深度明智的。在深度优先搜索,搜索深度执行明智的方式从一个给定的顶点到的搜索不能进行进一步的或一个死胡同。提出的启发式使用贪婪的深度优先搜索创建一个哈密顿路径。建筑从最高学位顶点的路径,因为它增加回到起始点的概率。程度的一个顶点的边数与顶点。另一个顶点的路径选择中贪婪地通过选择最小程度的邻居,并且邻居。学位最低顶点添加他们可能变得不可到达以来首次进入路径与邻国的选择。例如,如果一个顶点的度是两个然后顶点的边缘必须出现在哈密顿路径/周期和这些边缘被添加到路径。顶点的路径构造到目前为止被认为是“访问。“因为在哈密顿周期顶点只出现一次,只有既邻居需要考虑当前的顶点。 In order to guide the greedy depth first search further to longer paths, an unreachable vertex heuristic is proposed. According to this heuristic, before adding a vertex to the path, an unreachable condition is checked for each of its neighbours. This heuristic is explained in Section 2。3。

 2.3。不可到达的顶点启发式

本研究提出了一种新的启发式,即不可到达的顶点启发式,减少到达死胡同的机会而构造哈密顿路径。

定义1。

让P部分路径和x部分路径最终顶点。选择下一个顶点y ∈ disorderly (x)的路径,这样的数量,并且相邻顶点的邻接的顶点(y)大于1。

一个顶点是遥不可及的如果所有邻国已经路径构造的一部分。在这种情况下,没有办法达到顶点,它变成了遥不可及的。在此提出的启发式,如果选择一个顶点做任何既邻国不可到达的那点不会被添加到路径。

例如,考虑图如图 1。

不可到达的顶点。

让部分路径识别到目前为止是一个→C→D。在给定的图 一个 d j ( D ) = B , E 。让下一个顶点选择是E。 一个 d j ( E ) = B , G , F 。既无邻国的B, G和F 1、2分别和2。根据不可到达的顶点启发式,E不会被选为路径中的下一个顶点以来的数量,并且B的邻居就是其中之一。

 2.4。旋转变换

旋转变换( 11)及其变化发现强大的启发式寻找哈密顿循环。它是用来改变一个路径得到一个新的顶点,如图 2。在图中,e是最后的旋转变换应用于得到一个新的顶点。

旋转变换。

旋转变换的过程总结如下。

找到一个顶点相邻e在输入图,在路径b p .顺其自然顶点。

创建一个新的路径P ',

通过连接b e

通过逆转的路径从c到e

在该算法中,旋转变换用于两个目的。

走出死胡同在哈密顿的建设路径。

将哈密顿路径转化为哈密顿循环。

在第一种情况下最高学位的路径选择旋转变换,因为它增加了一个新的结束的概率。同样将路径转化为周期,最低程度的顶点路径选择旋转变换,因为它增加了返回的概率更高程度的周期结束。

 3所示。提出了混合启发式 3.1。HybridHAM算法

提出的HybridHAM算法三个步骤:

创建一个初始路径

最初的路径转换为哈密顿路径。

哈密顿路径转换为哈密顿循环。

3.1.1。创建初始路径

路径创建从程度最高的顶点,然后添加最小程度顶点贪婪地为了构造一个初始路径尽可能。最高学位的选择初始顶点,然后最小程度的顶点意味着构建一个长的初始路径表中给出 1。算法检查不可到达的条件之前添加一个顶点的路径。这是减少的概率在道路建设达到一个死胡同。如果有一个以上的最高学位顶点然后重复这个过程创建初始路径选择的每一个顶点开始,选择路径的最大数量的顶点作为初始路径。通过遵循这个过程,我们可以得到一个初始哈密顿或接近哈密顿路径。

顶点的选择标准。

顶点选择规则 一步 原因
选择初始顶点的最高学位。 步骤1 它增加一条路径的概率达到回到这个顶点形成循环。
贪婪选择最小程度的顶点在道路建设。 步骤1 优先在较小的程度上顶点长路径的概率增加。举个例子,如果一个顶点的度临近结束当前的两个顶点的路径,那么它应该包括第一路径,因为它是唯一可能的顶点的位置在哈密顿路径中。
选择最高的学位的初始路径旋转变换 步骤2 它增加了概率获得一个新的顶点结束进一步扩展路径创建一个哈密顿路径
选择最小的程度最终顶点旋转变换 步骤3 这样做是为了保持最高程度的顶点,因为一条边连接的概率更高程度的顶点相比较小程度的顶点。
3.1.2。初始路径转化为哈密顿路径

如果创建的初始路径不是哈密顿(顶点数少于总数的顶点),然后选择最高程度的初始路径旋转变换。这增加的概率是一个新顶点结束进一步扩展路径创建一个哈密顿路径。扩展路径的新顶点结束后,贪婪的程序部分 3.1。1。旋转变换和贪婪的路径扩展直到我们得到一个哈密顿路径。在这个过程中,任何时候不能应用旋转变换意味着图没有哈密顿路径或算法未能识别的哈密顿路径。

 3.1.3。哈密顿路径转化为哈密顿循环

如果有一条边连接的两端哈密顿路径图中添加道路边缘的哈密顿循环。否则,应用旋转变换的最小程度顶点结束反复,直到得到一个新的顶点,可以连接到另一端的顶点形成了哈密顿周期。在任何时间在这个过程中,旋转变换不能应用,意味着图没有哈密顿周期或算法未能识别哈密顿周期。

各个步骤中使用的顶点选择标准表进行了总结 1。

 3.2。例子

考虑到无向图在图 3。

输入无向图。

 3.2.1之上。在步骤1中确定初始路径

0 1 2 3 4 5 6 7 8 12 13 14 22 21 20 19 18 15

初始路径的长度是18,小于图中顶点的总数。自从确定路径不是哈密顿,转到第2步。

 3.2.2。哈密顿路径在步骤2中确定

0 7 8 12 14 13 15 17 16 9 1 2 3 4 5 6 11 23日21日22日20 18 19 10

路径的长度是24,因此它是哈密顿路径。由于没有边缘图 3,连接顶点的路径(即。,edge connecting vertex 1 and vertex 11), go to step 3 and apply rotational transformation to find the new end vertices that are connected in the graph in Figure 3

 3.2.3。在步骤3中哈密顿周期确定

0 7 8 12 14 13 15 16 17 18 19 20 21日22日23日11 10 6 5 4 3 2 9 1

最终顶点1和2连接在初始图如图 3因此形成了哈密顿循环。这是显示在图 4。

哈密顿循环。

 3.3。伪代码

算法的输入图的邻接矩阵表示的输出是一组顶点对应的哈密顿循环。让 n 图中顶点的数量。该算法包含三个阶段和概述如下:

HybridHAM ()

从输入邻接矩阵,创建两个数组 V 一个 和 V d 顶点的排序顺序增加和减少他们的度,分别。

/ /第1阶段

/ /创建一个初始路径

从顶点程度最高的国家之一(第一个顶点数组中 V d )。让它成为 v 年代 。

将其添加到初始路径 P 我 。

重复

选择下一个最小程度的邻居 v 年代 (从数组中 V 一个 )。让它成为 v 我 。

如果选择 v 我 不做任何既邻国不可到达呢

将其添加到初始路径 P 我

使 v 我 作为 v 年代

直到 v 年代 变成了一个死胡同。

/ /第一阶段的结束

如果 | P 我 | = n 然后去三期。

其他的

重复第1阶段为每个图的顶点并选择最高学位

最长的P我作为初始路径。

如果

/ /第二阶段

/ /初始路径转化为哈密顿路径

重复

选择最高学位的路径 P 我 旋转变换

反向 P 我 如果第一个顶点 P 我 有学位高于最后一个顶点的最高学位顶点为顶点的路径。让它成为 v x 。

应用旋转变换 P 我 使用 v x 得到一个新的路径。

如果不能应用旋转变换图没有哈密顿路径或算法未能识别哈密顿路径和退出。

扩展这个新的路径通过使用贪婪的深度优先搜索在阶段1。

直到 | P 我 | = n 。

现在 P 我 是哈密顿路径 P h 。分配 P h = P 我 。

/ /第二阶段的结束

如果有一条边连接的第一个和最后一个顶点 P h 在图

P h 哈密顿周期并返回吗 P h

其他的

进入第三阶段

如果

/ /第三阶段

/ /将哈密顿路径转换为哈密顿循环

重复

选择最小程度的路径 P h 旋转变换

反向 P h 如果第一个顶点 P h 有学位高于最后一个顶点的最小度的顶点为顶点的路径。让它成为 v y 。

应用旋转变换 P h 使用 v y 得到一个新的路径。

如果不能应用旋转变换图没有哈密顿周期或算法未能识别哈密顿路径和退出。

直到有一个边缘连接第一个和最后一个顶点的路径 P h 。

现在 P h 哈密顿周期并返回吗 P h 。

/ /第三阶段的结束

/ /结束HybridHAM算法

 3.4。最坏情况的复杂性

创建数组排序

T (n) = O (n2)

第一阶段

贪婪的深度优先搜索通过邻接矩阵一次在最坏的情况下,因此它的复杂度是O (n2)。

这个搜索是重复为每个顶点的最高学位。最坏的情况是所有的 n 顶点的度数是一样的。

因此,T (n) = O (n3)

第二阶段

旋转变换的复杂度是O (n)

贪婪的深度优先搜索的复杂度是O (n2)

这两个= O (n2)

这两个操作是重复的 n 次了。

因此,T (n) = O (n3)

第三阶段

旋转变换的复杂度是O (n)

重复此操作 n 次了。

因此,T (n) = O (n2)

总最坏情况的复杂性HybridHam T (n) = O (n2)+ O (n3)+ O (n3)+ O (n2)= O ( n 3 )。

 4所示。实验

该算法的性能评估实验系统中进行4 gb RAM和英特尔酷睿i5处理器。该算法在MATLAB中实现13类风湿性关节炎。实验进行了一组图表从文献收集以及TSPLIB中。

4.1。哈密顿样本周期图

返回的哈密顿周期算法对采集的一组示例图如图 5。

哈密顿图示例。

算法的运行时间来解决这些示例表中给出了实例 2。

运行时间在样本实例。

Sl.No 的名字 不。的顶点 运行时间在秒。
1。 示例1 16 0.051
2。 示例2 20. 0.056
3所示。 示例3 11 0.051
4所示。 示例4 12 0.054
5。 示例5 11 0.051
6。 例子6 20. 0.049
7所示。 例7 12 0.052
8。 示例8 24 0.083
9。 例9 24 0.063
10。 示例10 12 0.051
11。 例11 6 0.049
12。 示例12 12 0.031
13。 示例13 8 0.029
14。 例14 12 0.034
15。 例15 19 0.030
16。 示例16 12 0.032
17所示。 示例17 13 0.030
18岁。 例18 16 0.038
19所示。 示例19 60 0.043
20. 例20 20. 0.042
21。 示例21 25 0.031
22。 示例22 32 0.032
23。 示例23 64年 0.078
4.2。TSPLIB实例

TSPLIB库( 22)包含七个哈密顿1000年周期实例,2000年、3000年和5000年顶点。该算法可以解决所有这些问题实例在几秒钟。该算法的运行时间是比 HCP解算器( 23], 协和TSP解算器( 24],最新的 蛇和梯子启发式 21]。表 3给了这些算法的时间解决每个HCP实例。

运行时间在TSPLIB实例。

Sl.No 的名字 不。的顶点 运行时间在秒。
协和式飞机 HCP解算器 蛇和梯子启发式 混合火腿
1。 Alb1000 1000年 4.95 0.72 0.1 0.2656
2。 Alb2000 2000年 7.30 3.29 0.8 1.4375
3所示。 Alb3000a 3000年 9.56 8.36 3.44 2.7656
4所示。 Alb3000b 3000年 9.94 8.02 3.64 1.5781
5。 Alb3000c 3000年 9.95 8.43 4.31 1.8438
6。 Alb3000d 3000年 10.14 8.48 4.03 1.6406
7所示。 Alb3000e 3000年 10.44 8.03 4.29 1.6719
8。 Alb4000 4000年 13.45 17.84 13.89 3.0625
9。 Alb5000 5000年 17.24 30.85 14.12 8.9844
4.3。FHCP挑战设置

FHCP挑战设置( 25是1001个哈密顿周期问题实例的集合。这个数据集是专门设计来抵制启发式方法。HybridHAM测试250的实例FHCP挑战。这些250实例,提出启发式能找到75哈密顿路径和哈密顿周期。完整的结果如表所示 4。图太稀疏,这样旋转变换不能哈密顿路径转化为哈密顿周期的第三阶段算法。阶段1和阶段2的算法表现相对好高度困难挑战的实例集,因此哈密顿路径。也发现,提出的最高学位和最小程度顶点选择标准更适合图有不同程度的顶点。然而,该算法能找到哈密顿周期中稀疏图的非常少的时间(例如,图72、79、84、90等表 4)。即使是赢家( 26)无法解决的全套的挑战,他们使用不同的算法对不同类型的图表,他们的目标是找到解决方案,而不是开发算法。

结果FHCP挑战。

Sl.No 的名字 不。的顶点 不。的边缘 输出 运行时间在秒。
1。 图1 66年 99年 惠普 0.0625
2。 图2 70年 106年 HC 0.0469
3所示。 图3 78年 117年 惠普 0.0625
4所示。 图4 84年 127年 惠普 0.0625
5。 Graph5 90年 135年 惠普 0.0625
6。 图6 94年 142年 HC 0.0625
7所示。 图7 102年 153年 惠普 0.0781
8。 Graph8 108年 162年 惠普 0.0625
9。 图9 114年 171年 惠普 0.0938
10。 图11 126年 189年 惠普 0.1094
11。 图12 132年 199年 惠普 0.1094
12。 图14 142年 214年 惠普 0.0938
13。 图15 150年 225年 惠普 0.1250
14。 图16 156年 235年 惠普 0.0938
15。 图17 162年 243年 惠普 0.1875
16。 图18 166年 250年 惠普 0.1094
17所示。 图20 174年 261年 惠普 0.2344
18岁。 图21 180年 271年 惠普 0.1406
19所示。 图22 186年 279年 惠普 0.2188
20. 图23 190年 286年 惠普 0.1563
21。 图25 204年 307年 惠普 0.1719
22。 图26 210年 315年 惠普 0.3750
23。 图27 214年 322年 惠普 0.2031
24。 图29 228年 343年 惠普 0.2500
25。 Graph32 246年 369年 惠普 0.4063
26岁。 图33 252年 379年 惠普 0.3281
27。 Graph34 258年 387年 惠普 0.4688
28。 图35 262年 394年 惠普 0.5781
29。 图36 270年 405年 惠普 0.7031
30. 图37 276年 415年 惠普 0.3750
31日。 图40 294年 441年 惠普 1.0469
32。 图41 300年 451年 惠普 0.4844
33。 图43 310年 466年 惠普 0.7031
34。 图44 312年 477年 惠普 0.9844
35。 图45 324年 487年 惠普 0.6094
36。 图50 348年 523年 惠普 0.9063
37岁。 图53 366年 549年 惠普 1.6875
38。 图54 372年 559年 惠普 0.9219
39岁。 图58 396年 595年 惠普 1.7031
40。 图59 400年 40001年 HC 0.2656
41岁。 图64 416年 625年 惠普 1.0938
42。 图65 419年 631年 惠普 1.4375
43。 图68 438年 657年 惠普 2.9219
44岁。 Graph69 444年 667年 惠普 2.9063
45岁。 图72 460年 52901年 HC 0.4375
46岁。 图79 480年 57601年 HC 0.4844
47岁。 图82 496年 745年 惠普 1.7031
48。 图84 500年 62501年 HC 0.5313
49。 图90 510年 65026年 HC 0.5625
50。 图91 516年 775年 惠普 3.5156
51。 图95 540年 811年 惠普 3.0469
52岁。 图96 540年 72901年 HC 0.7031
53岁。 图99 550年 826年 惠普 5.6719
54。 图104 576年 865年 惠普 2.8594
55。 图118 636年 955年 惠普 6.8594
56。 图122 656年 985年 惠普 4.1563
57。 图124 660年 991年 惠普 8.2813
58岁。 图128 677年 114583年 HC 1.3594
59。 图134 724年 131045年 HC 1.5313
60。 图137 736年 1105年 惠普 12.9531
61年。 图148 816年 1225年 惠普 7.9531
62年。 图150 823年 169333年 HC 2.7500
63年。 图151 828年 1243年 惠普 11.5625
64年。 图160 896年 1345年 惠普 14
65年。 图162 909年 206571年 HC 4.0625
66年。 图168 972年 1459年 惠普 33.0938
67年。 图169 976年 1465年 惠普 28.6406
68年。 图176 1020年 1531年 惠普 29.4375
69年。 图182 1056年 1585年 惠普 22.6719
70年。 图188 1123年 315283年 HC 9.6406
71年。 图190 1136年 1705年 惠普 14.4844
72年。 图203 1216年 1825年 惠普 40.2813
73年。 图211 1296年 1945年 惠普 40.1406
74年。 图233 1456年 2185年 惠普 85.4688
75年。 图246 1536年 2305年 惠普 111.8438

值得指出的是,困难的实例FHCP挑战数据集是非常罕见的,很难构造,更不用说遇到“自然”。一个lso even discovering a Hamiltonian path is a difficult (NP-complete) problem and the proposed heuristic succeeded in doing so for many instances of the FHCP Challenge Set.

 5。结论

提出了一种混合启发式寻找哈密顿周期从无向图。提出了三阶段算法使用一个组合的三个启发式:贪婪的深度优先搜索,不可到达的顶点,和旋转变换。从各种不同的图形变量的大小和复杂性进行了实验,发现使用的最高学位启发式选择最长的初始顶点创建初始路径以及哈密顿路径和最小的启发式用于哈密顿路径的转换程度哈密顿周期的原因得到解决方案在一个单一的运行。实验还表明,评价该启发式更快,成功获得好结果在大多数情况下。它应该值得注意的是,增加的速度是在不牺牲启发式的可靠性不同大小的“简单”实例(包括相当大TSPLIB实例),它仍然更困难的实例上执行相当不错。

 数据可用性

支持这项研究的数据来自之前报道的研究和数据集,已被引用。处理过的数据是可用的( 22, 25]。

 的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

 确认

这个手稿的研究支持大学拨款委员会重大项目资助F.No.42-136/2013 (SR)。

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