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Syed Inayatullah, Maria Aman, Asma Rani, Hina Zaheer, Tanveer Ahmed Siddiqi那 “一种确定多面体近似中心的新技术“，运筹学研究进展那 卷。2019年那 文章ID.8218329.那 7. 页面那 2019年． https://doi.org/10.1155/2019/8218329
一种确定多面体近似中心的新技术
摘要
在本文中，我们提出了一种用于查找线性编程多特孔的近似中心的方法。这种方法在多种简单简便的步骤中提供了多种子茯中心附近的一个点。还提出了几何解释和一些数值示例以证明所提出的方法和通过使用具有查找精确和近似中心的现有方法所获得的中心所获得的中心的质量比较。最后，我们还在随机生成的多台上呈现计算结果，以比较通过使用新方法获得的中心的质量。
1.介绍
线性编程（LP）是一种用于优化经受一组线性约束和非承诺限制的线性函数的数学技术。线性计划今天经常出现在应用科学的各个领域。这是对各学科的威胁，巨大影响;它已成为许多数学家，经济学家，决策科学家等的核心研究领域。线性规划在第二次世界大战期间开发，当最大化资源效率最重要的系统时，这是最重要的。从那时起，许多研究人员曾致力于推进他们的思想，并使Polytope定心作为科学和工业中主要优化技术（名为内点方法）的核心步骤。
2.多面体中心的定义
有几种方法来定义多边形的中心，它可能是重心，例如，封面，即所有顶点的平均位置，顶点质心，点在距离所有边界线的距离的产品最大化的位置I.，分析中心，包含多面体的最小体积椭球的中心，或多面体内部最大球体的中心。因此，多边形的中心取决于我们所使用的定义。但幸运的是，所有这些定义在某种意义上都是等价的，如[1，如果我们得到一个多边形中心的多项式时间算法，那么该算法也可以用来构造一个求解线性规划的多项式时间算法。
许多技术(2-4.]用于寻找多边形的中心，但它们需要多次迭代，收敛速度慢，而且大多数情况下需要复杂的计算。
大多数用于求解LPs的内点方法依赖于寻找中心方法的计算，无论是显式的还是隐式的[3.那5.］．
分析中心[6.-12)无疑是最常用的概念中心多面体的线性优化,因为它容易计算,但它的缺点是,它可以推动边界附近的多面体通过使用冗余约束,因为它的位置取决于定义的半无限空间位置的多面体。因此，在这种情况下，分析中心可能看起来不像位于一个良好的中心位置(也可以看看部分3.）。p-center [3.，也将在本节中讨论4.，提供了一个比解析中心更好的中心，但在实践中发现，它需要更长的时间来获得一个良好的近似的p -中心。
3.分析中心
让S.是由线性不等式(标准化)系统描述的多面体:
的分析中心S.是点 满足以下最大化问题:
当S.是有界的，这个最大化问题总是有解的。
一般来说，解析中心取决于特殊不等式集的定义。冗余不等式的加入可以将解析中心推向边界。在下面几节中4.和5.，我们讨论了两种新的有效的替代方法，可用于寻找一个良好的近似多边形的中心位置。
4. P-Center [3.]
考虑一个由集合描述的线性规划多面体 那在哪里 ．让 是对应的半空间一世th行一种和 是相应的超平面。该方法假设多容孔是全维性的。整体技术基于以下对预测的定义。
4.1。正交可行的预测
让是某可行内点;对于每一个超平面 那我们可以很容易地生成两个不同的点(投影)和在边界上，由和 那在哪里 和 ．
4．2.使用正交投影的中心位置
多边形的顶点质心可以定义为边界上所有点的平均值，[3.]将p中心定义为顶点质心的近似，它可以通过对多边形边界上的有限个数点取平均值得到。该方法的主要任务是在边界上尽可能多地生成点。为此，需要一个初始可行内点，然后该方法通过将正交投影的凸组合带入与定义多面体的不等式相关的超平面中来生成迭代。
每一个可以产生两个点和在…的边界上S.和一个中点 在和弦上加入他们。新的迭代取所有数的平均值m中点 ．那是 ．
如果(是公差价值），然后停止效果“P-Center获得耐受性水平 ．“否则，执行 迭代以作为初始内点。
卡洛斯将它定义为顶点质心的近似，因为在每次迭代中，他在边界上取了2 -m个方向不同的点。看起来是非常有效的方法,他也表明,中心的质量也很好,甚至大多数时候P-center方式比分析中心的中心,但实际上,它是发现,它变得非常缓慢收敛和达到一个特定的宽容。有时，它需要大量的迭代才能接近质心。计算结果见本节6.．
5.中央地点的新近似：CN中心
在本节中，我们描述了部分中描述的方法的递归版本4.．由于这种方法的递归性质，它使用最新的center值进行下一次计算，因此它可以快速地向中心位置移动。我们称这种方法得到的中心位置为CN-center。
总的来说，对于一个问题m约束，此过程的每个迭代都保存m步骤。这里开始,表示所获得的中心的坐标一世第中间步骤K.th迭代,表示之后获得的中心K.迭代，和为初始可行点的坐标。在这里,的中点和 那在哪里和在由定义的边界上和 那在哪里 和 ．
对于任何K.迭代时，该方法需要一个内可行点 ：一步K.1:计算 ．放 ．一步K.一世:计算 ．放 ．
现在，由于所有超平面都有贡献，我们可以设置 ．我们可以在 那在哪里是所需的耐受性。如果没有实现公差级别，则该过程可以进行 迭代,作为初始点。
计算P-center和CN-center的主要区别可以简单地通过执行第一次迭代的初始两步来说明。迭代1。第一步:两种方法都取一个内部可行点 那作为起点并找到两点和在可行区域的边界上利用第一约束的法线方向。然后，两种方法都取边界点的平均值来得到一个新的点 ．迭代1。第二步:差异化战略从这里开始;p中心法现在再次找到另外两个边界点的平均值使用法线为2nd约束和起点相同 那并称之为 ．相比之下，CN-center法取正常值2nd约束和一个新点求得边界点的平均值，用表示 ．现在，的平均值和 ．
6.计算经验
在MATLAB中对多个多面体的CN-center、P-center、解析中心和质心进行了数值比较，并以合适的公差水平收敛。首先，我们展示了二维空间中的多面体图片，以说明CN-center、P-center、解析中心和质心的收敛性。其次，我们给出了随机生成多面体的数值结果。
为了使P-center和CN-center的收敛形象化，我们从[13］．数据1-4.分别分别代表四个多种多纤，分别与其p中心和CN中心收敛。
桌子1显示了中心坐标的衡量标准X、迭代次数和中心性度量为图中所示的每个多面体的P-center和CN-center1-4.
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正如我们在表格中看到的1以及数字1-4.,中心CN中心和P中心几乎相等，但对CN中心的收敛性比P中心更快。
现在，我们正在采取其他四种不同的多种多元化物，并在分析中心，P中心，质心和CN中心之间的可观察品质之间进行比较。桌子2和图5.表示数值和图形结果。基于数据1-5.，很容易看到位置上的CN-center几乎等于P-center，但迭代次数更少。
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我们的计算表明，如果取起始点在区域的一个狭窄角落附近，则P-center和CN-center的迭代次数会有很大的差异，如图所示6.，如果取该区域的一个宽角附近的起始点(看数字7.)， P-center和CN-center的迭代次数差异不太显著。
现在,表3.在获取具有较高数量的约束的随机生成的2D LPS所需的迭代次数上呈现一些计算结果。
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最后，高维随机脂多糖计算结果如表所示4.．在这里，我们取每个订单的20个随机LPs的迭代次数的平均值 ．结果表明，即使在高维问题中，新方法在效率上仍有优势。
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注意:在这里,就足够了。如果我们观察CN-center的收敛模式，我们可以看到最初的收敛速度是快的，在以后的迭代中收敛速度会变慢。一般来说，我们不需要精确的中心点;实际上，任何好的中心位置都足够工作。所以一个好的中心点可以通过CN-center在100 × 100甚至是一个非常高维的问题中通过几次迭代得到。 |
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7.应用程序
在很多领域，近似中心寻找方法可以用于LPs，例如，解决线性和一般凸规划[13，支持向量机(SVM)解决方案，对应于版本空间内内接的最大球面的中心[9.那14，计算容积公式[15，线性规划的球面法[16］．
8.结论
在本文中，我们介绍了一种修改的P-Center形式[3.叫它CN-center。我们的实验结果表明，P-center和CN-center的中心质量几乎相同，但在迭代次数上，CN-center在计算低维和高维问题可行区域的良好中心位置方面要快得多。
通常，找到LP的中心位置是大多数内点方法的主要关键步骤。通常，如果在较少数量的计算中获得，我们不需要确切的中心代替良好的中心位置就足够了。因此，从这个意义上讲，CN-Center是一种更好的选择来代替P中心或分析中心。
数据可用性
使用MATLAB软件随机生成数据。可以根据需要提供随机数的种子和相关的MATLAB文件。
的利益冲突
作者声明他们没有利益冲突。
参考文献
- V.克利(V. Klee)，《凸性》(Convexity)美国数学学会第七届纯数学研讨会论文集1961年6月，美国华盛顿州西雅图。视图:谷歌学术搜索
- N. D. Botkin和V. L. Turvova，《寻找凸多面体切比雪夫中心的算法》，应用数学与最优化，第29卷，第2期2、1995。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
- A. Carlos Moretti，“加权投影定心法”，计算与应用数学，卷。22，没有。1，pp。19-36,2003。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
- d . p . Bertsekas凸优化理论，雅典娜科学，贝尔蒙特，马马，美国，第一版，2009年。
- E. R. Barnes和A. C. Moretti，《多面体中心的一些结果》优化方法和软件，第20卷，第2期。第1页，第9-24页，2005。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
- J. Renegar，《基于牛顿方法的多项式时间算法》，对线性规划，第40卷，第5期。1-3，第59-93页，1988。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
- P. T. Boggs, P. D. Domich, J. R. Donaldson, C. Witzgall，《线性规划问题中心方法的算法改进》，Orsa Counces计算，卷。1，不。3，pp。159-171,1989。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
- 内点法的投影变换和w中心问题的超线性收敛算法数学编程，第58卷，第2期1-3，第385-414页，1993。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
- 胡德华，“用中心法求解非线性约束的数学规划”，载非线性编程，J. Abadie，Ed。，PP。207-219，North-Holland Publishing Company，阿姆斯特丹，荷兰，1967年。视图:谷歌学术搜索
- F. Jarre, G. Sonnevend, J. Stoer，《分析中心方法的实现》，刊于控制和信息科学的讲义笔记，页297-307，施普林格，柏林，德国，1998。视图:谷歌学术搜索
- 博伊德和范登伯格，凸优化，剑桥大学出版社，英国剑桥，2004。
- D. G. Luenberger和Y. Yinyu，线性与非线性规划，施普林格，纽约，纽约，美国，第三版，2008。
- 答:卡洛斯·莫雷蒂一种寻找多边形中心的技术，佐治亚理工学院，亚特兰大，美国佐治亚州，1992。
- 一种精确计算高维多面体质心的算法及其在核心机器上的应用第三届IEEE数据挖掘国际会议论文集2003年11月，美国佛罗里达州墨尔本。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
- 解析中心概念在近似(估计)问题中的应用计算与应用数学学报，第28卷，第349-358页，1989。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
- k . g . Murty特殊多边形的球中心美国密歇根大学工业与运营工程系，密歇根州安娜堡，美国，2009。
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