强制术语对二阶差分方程解决方案的振动标准

摘要

讨论了一类带强迫项的二阶差分方程的振动性判据（）。我们建立了充分的条件，保证了每个解决方案是振荡或最终阳性解决方案会聚到零。

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在过去的三十年中，对二阶差分方程解决方案的振荡和渐近行为的研究越来越令人兴趣（见[1-11.])。在 [1]，阿尔卢和塔帕帕尼考虑了等式 为存在积极解决方案的一些充分的条件。在 [3.]，Saker被认为是等式 并给出了一些充分的条件，保证了每个解决方案是振荡的。在此趋势之后，我们涉及具有强制术语的二阶差分方程的解决方案的振荡标准 在哪里是一个积极的序列，是一个非负序列，而不是相同的序列那是一个真正的序列，是一个实数，和那非负整数,．

一个解法的 （3.据说最终是阳性的对于所有大并且最终是负面的对于所有大．等式（3.)如果它最终既不是正的，也不是负的，则称为振荡的。

为了得到我们的结论，我们首先给出两个引理。

LEMMA 0.1。如果差异不平等 是振荡，然后差异方程 是振荡。

否则，如果（5.）最终是阳性的解决方案，然后（4.)最终有积极的解决方案;这是矛盾的。

lemma 0.2。假设是一个最终积极的解决方案（3.），,（一世） 那(2) 那（iii） ．放．然后和

证明。假设是一个最终积极的解决方案（3.），然后存在,这样那,为了， 然后为了．通过总结（3.） 从至， 我们获得 从 （6.）， 我们知道， 在哪里α是一个积极有限的数量或．因此那β是有限的数量或．
如果（是常数)，那么存在吗那为了， 以便 这与．
如果，然后存在那为了;因此， 所以，;因此,存在那,（） 为了．通过总结（3.） 从我们获得 作为，右侧（9.)有界，但(9.)往往;这是矛盾的。
然后;因此．这完成了证明。

通过引理0.2，我们获得以下内容。

定理0.3。如果条件（i），（ii）和（iii）持有是一个最终积极的解决方案（3.）， 然后．

证明。利用（6.）和雷玛的结论0.2,我们知道 所以．如果不是，假设，然后存在,为了．现在替代为了在(6.），我们获得了相反的。这完成了证明。

定理0.4。如果条件（i），（ii）和（iii）持有，让 如果然后是振荡，然后（3.）是振荡。

证明。假设是一个最终积极的解决方案（3.），然后存在那那,为了．从 （6.),我们有 卖并利用lemma0.2,我们得到 或 通过总结（14.） 从至， 我们获得 鉴于定理0．3， 我们知道，则存在一个序列,这样那,;通过…15.),我们有 所以 这表明了是非震荡的，这是一个矛盾。这完成了证明。

振荡的振动的充分条件3.）。以下示例将说明这一点。

例0.5。考虑差异方程 这里，是非震荡的，并且满足其他条件（i），（ii）和（iii）。等式（18.）有非张开的解决方案．

例0.6。考虑差异方程 这里，是振荡，条件（i），（ii）和（iii）满意。等式（19.）是振荡。

例0.7。考虑差异方程 这里，是非震荡的，满足其他条件（i），（ii），（iii）。但 （20.）有振荡的解决方案．

评论：
（1）当，定理0．3和0.4仍然持有。（2）作为，lemma.0.2，定理0.3和0.4仍然保持。在定理中0.4那 已经讨论过．我们有以下结论．放 如果是一个最终积极的解决方案（3.），然后存在那为了．因此， 因此，我们得到如下

定理0.8。作为，如果差异不平等（4.）是振荡，然后差异方程（3.）是振荡。

致谢

This work is supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant no. 60771026), the Program for international cooperation of Shan’xi Province (Grant no. 2010081005), and the Natural Science Foundation of Shan’xi Province (Grant no. 2010011007).

参考文献

1. R. Arul和E. Thandapani，“二阶拟线性差分方程正解的渐近性态”，庆数学杂志，第40卷，不。2，pp。275-286,2000。视图:谷歌学术|Zentralblatt Math.
2. S. R. Grace和H. A. El-Morshedy，“具有强制术语的某些二阶差分方程的振荡和非振动定理”，数学分析与应用杂志，卷。216，没有。2，pp。614-625,997。视图:出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.
3. S. H. Saker，“二阶非线性时滞差分方程的振动性”，韩国数学社会的公报，第40卷，不。3, 489-501页，2003。视图:出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.
4. S. Cheng和H.J.LI，“非线性差分方程的渐近单调溶液的比较定理”，数学研究所简报。台湾中央研究院，卷。21，不。4，pp。299-302，1993。视图:谷歌学术|Zentralblatt Math.
5. S. Cheng，T. C. Yan和H. J. Li，“二阶差分等式的”振动标准“，funkcialaj ekvacioj.，卷。34，没有。2，pp。223-239,1991。视图:谷歌学术|Zentralblatt Math.
6. S. H. Saker，“用于强制Emden-Fowler超线性差分方程的Kamenev型振荡标准”电子微分方程杂志，卷。2002年，没有。86，pp。1-9,2002。视图:谷歌学术|Zentralblatt Math.
7. M. H. Abu-Risha，“二阶线性差分方程的振荡”，应用数学字母第13卷，没有。1, 129-135页，2000。视图:出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.
8. W.-T。Li，“二阶非线性差分方程的振动定理”，数学和计算机建模第31卷，不。6-7，第71-79页，2000。视图:出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.
9. E. Thandapani和K.Ravi，“二阶半线性差分方程的振荡”，应用数学字母第13卷，没有。2，第43-49页，2000。视图:出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.
10. S. H. Saker，“二阶非线性中立型时滞差分方程的新振动准则”，应用数学与计算第142卷，不。1，第99-111页，2003。视图:出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.
11. z.-r.刘，W.-D。陈，y。 -yu，“二阶非线性延迟差方程的振荡标准”庆数学杂志第39卷，没有。1，页127-132,1999。视图:谷歌学术|Zentralblatt Math.

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