通过简单的线性时变量产生混沌吸引子

摘要

本文介绍了一种新型混沌吸引子的方法。底层机制涉及一种简单的三维时变系统，具有简单的时间用作控制输入。此外，通过模拟通过调整合适的系统参数来方便地生成各种吸引图案来证明。已经获得了系统的最大Lyapunov指数。

1.介绍

混沌和混沌系统，在过去的四十年被广泛研究，已经被发现在各种应用如科学，数学，工程社区是非常有用的[1]，以及各种技术，如识别和同步[2］．这为目前利用新混沌系统的研究提供了强大的动机。

在数值和实验中发现了动态系统中的许多混沌吸引子，例如Lorenz吸引子[3.]Rössler吸引子[4.］．Chua的电路系统[5.具有双滚动吸引子的混沌系统可能是最著名和最简单的混沌系统。Suykens和Vandewalle [6.]提出了一些有效的生成n-滚动吸引子的方法。此外，在一些简单系统中也发现了多滚动吸引子;它激发了目前利用一些简单的电子电路和器件来产生各种复杂的多涡旋混沌吸引子的研究。

在一般情况下，它在数值上相对容易地产生混沌系统，但是通常很难分析或验证非表面系统的动力学特性，即使对于具有低维度的交换系统，也甚至是非尺寸的[7.那8.］．为了处理切换(线性)系统平衡的稳定性，人们作了许多努力，并进行了严格的分析[9.-11.］．在 [12.[简单地通过设计具有滞后切换信号的交换系统，引入新的漏斗形状中的混沌吸引子。

通过以前的混沌吸引子生成作品，我们进一步努力通过引入时间函数来产生更多混沌行为，即调查具有各种时间函数的时变系统。为了我们的幸福，观察到混乱的吸引力。而且，通过改变参数可以容易地改变所产生的吸引子的形状，并且可以获得各种复杂图案。还讨论了统计行为，其揭示了复杂动态中的规律性。

本文的其余部分组织如下。部分2对混沌吸引子的产生进行了分析。部分3.引入一个简单的三维时变系统来产生新的混沌吸引子;然后一节4.专注于具有参数变化的产生吸引子的图案变化。简要结束于部分5.．

2.混沌吸引子产生的分析

混沌吸引子的研究方法主要有解析法和数值分析法两种。分析方法一般有两种，Melnikov法和Kalashnikov法。但在一般情况下，由于解析方法的困难，我们采用数值方法。

数字方法基于理论成果和计算机模拟的基础。最近，有很多这些成就，例如Poincare横截面，功率谱，互相采样频率和连续反馈控制。此外，频谱分析，Lyapunov指数，分形维数和拓扑熵等是描述混沌统计性质的常见方法。

给出了混沌吸引子生成的一些分析结果[13.-16.，如马蹄地图[13.、希尔尼科夫定理[14.，以及Li-Yorke定理[15.］．

在本节中，我们研究了混沌吸引子生成的条件。我们首先关注一般线性系统，如下所示： 在哪里是雅可比矩阵．

我们假设有三个特征值和,在那里那， 和是实数,．那么，平衡是稳定的当且仅当那;否则平衡是不稳定的。

可以定义混沌吸引子的运动范围，并且在某些区域中应该存在会聚动作和混沌吸引子的发散运动。考虑到上述情况，在平衡的情况下可以模拟稳定（收敛）或平衡是不稳定的（在发散的情况下）。

因此，系统混沌吸引子生成的必要条件（2.1）是获得的。

在平衡线性系统（2.1)，三个特征值和哪个随时间的变化而变化，以及其他条件。

3.产生混沌吸引子

从分析中的分析2，线性化系统的三个特征值必须是用于产生混沌吸引子的变量，并且为了方便理解和计算，引入了时间函数。考虑以下时间变化系统： 在哪里 那 那 那 是常数，是可控参数,是无限的。我们可以证明系统（3．1)符合Section规定的条件2．解决产生了唯一的系统平衡．

我们假设： 然后,．

考虑到附近的系统轨迹和．认为是无穷无尽的．然后,

和（）的特征多项式（3．4） 和 （3．5） 是

特征多项式In（3.6）至少有一个具有积极实物的根，这意味着系统在（3．4)是发散的，而(３．７)是收敛的，表示(3．5）是收敛的。同时，系统的均衡位置（3．1）是不稳定的和系统的平衡位置（3．1）稳定如此．

系统 （3．1）在两种情况下以交替的方式切换：收敛性和发散。产生混沌吸引子，如图所示1．然而，这不是存在混乱制度的充分条件。

4.具有参数更改的各种模式

在本节中，我们注意时变系统的动态行为（3．3)，在“混沌”区域选择参数，以显示基于参数选择的各种吸引子模式的有效生成。

首先，我们不会从（3．4）但是稳定区间的变化。然后，系统对不同的值显示不同的模式，如图所示2．

在三种情况下，最大的Lyapunov指数是那那．

然后，我们选择了来自（3．4）但分别改变恒定参数那那那．使用不同的值产生各种吸引子那那那，如图所示3.和4.．

最大的Lyapunov指数如下:

从这些数值模拟中，显示系统（3．1）调整系统参数时展示丰富的复杂模式。根据这，我们可以看出，基于参数的变化，所提出的时变系统在具有明显的准周期性或混沌行为的吸引子方面非常有效。

5.结论

提出了一种新的混沌吸引子生成方法。介绍了利用一个简单的具有不同时间函数的三维时变系统产生新的混沌吸引子的方法。结果再次支持了长期接受的信念，即适当设计的简单系统可以执行复杂的动力行为。此外，该系统可以在很宽的参数值范围内产生各种吸引子模式，并讨论了揭示复杂动力学规律的统计行为。此外，本文所提出的方法也可应用于非线性动力系统等领域。利用本文提出的方法可以设计更多的混沌发生器。

参考

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