部分有序集的一些公共不动点定理

摘要

摘要证明了序集上一个可交换的保序映射族的一些新的不动点定理和公共不动点定理，统一和推广了一些相关的不动点定理。

1.介绍和预赛

不动点理论近年来有了很大的发展，在丰富了这一理论的大量结果中，塔尔斯基关于有序集的定理是“任何在完全格上保持序的应用都承认一个不动点，它的不动点的集合就是一个完全格。”

在我们以前的工作中，我们引入了完全t格的概念，以证明完全t格是完全t格的一个特例。所以，读者可能会想，我们是否可以得到塔尔斯基定理的推广。

在我们的一篇文章中[1，2，我们证明了任何在完全t格上保持序的应用都有一个不动点。本文给出了这些不动点集合的结构和其他一些结果。

那么，我们从描述相关的符号和术语开始。让是一个部分有序集一个非空的子集。回想一下，上一级(对应上一级)低)前往是一种元素与 (职责。）为每一个；最少的上层(代表)下确)绑定的将表示(职责。 )．

接下来,我们是元素最少的部分有序集和最大的元素和是一个给定的运算符颠倒次序，使对所有．我们考虑以下子集和的，和，所以和都不是空的(因为和 )．接下来，让我们说集合一个完全t格，如果每个子集的承认最低的(相对的)。最小上)界尽快 (职责。 )，在哪里的映像在地图上为，我们用如果对于每一个，，我们有为和是的两个子集．

2.完全子t格与不动点定理

２.１.完成Sub-T-Lattice

受到Birkhoff成功引入的完全格子集概念的启发[3.，我们在部分有序集中提出了类似的概念。这个概念的目的是在一个有序集上构造一个不断增加的应用的不动点集。

让是一个部分有序集是一个给定的运算符颠倒次序，使对所有．

让我们用的有序关系的限制在与的一个子集．

定义1。我们说完全的t格是什么如果在每个派对上都能容纳最少和最重要的元素的立即存在 (职责。）：（1）每一个有限的子集的设置通常的有序关系是一个子t格对所有与最小的元素是什么（2）我们考虑图1:我们把定义的顺序关系≤: 对所有，，和为．此外,我们有和在哪里为；为；和为．为，让，( ）是完全的子t晶格吗

召回。让我们注意到(职责。）等于最大最小值(对应于。least-upper)绑定的在对于每一个党的．

命题2。让是一个完全的子t格最少的元素和最大的元素。然后，为每一个聚会 (职责。） (职责。）存在于(职责。在 )．

证明。让是非空的一方．让我们定义这个集合．我们有，自因为在这种情况下，每，我们有；因此, 对所有这表明, ．因此, 存在自是一个完全的子t格。正如我们所对所有，因此这意味着．如果是一个聚会，存在的证明在会是对称的。

通过这个命题，我们可以很容易地证明每条链的最小上界和最大下界;事实上，我们是这么认为的是递增链如果；然后, 存在于由命题2,但如果，我们有对所有这表明, 由于是完全的亚t晶格链吗的存在。如果是递减序列，是存在的证明是对称的。

回想一下的如果有元素，是否为最大值的可与…的每一个元素相媲美然后．

在下面，我们定义和对于任何叫间隔。

如果为完全t格;然后, 是一个完整的子t格，我们可以证明是一个完全的子t格。我们都有，这意味着是不是最少的元素和最重要的因素是什么．

让是一个非空的集合．自是完全晶格吗存在于．我们只会证明这一点存在于．然后，我们为所有人，这给了．因此, ．证明存在最大的最低的如果遵循相同的。

用同样的方法，我们可以证明是一个完全的子t格。

命题3。在完全子t格中，任何递减的非空区间族都有一个非空的交点，它是一个区间。

证明。让是完全的子t格中的非空区间的递减族，所以我们有和．因此,是递增序列吗为递减序列;此外,我们有对所有；的确, 如果和如果．因此,自是一个完整的t晶格吗和存在于．

对所有，我们有．因此, ．

２.２.不动点定理

不动点理论研究的是保证地图不动的条件一组它本身包含一个或多个不动点，即存在点的．

现在,让是一个有序集是一个给定的运算符颠倒次序，使或对所有．

我们参与其中的和单调映射；我们注意到不动点的集合通过．

定理4。如果是包含最小元素的完全子t格吗最重要的元素，然后,是一个非空完全子t格。

事实上,我们有；这表明是一个非空集。此外，我们还为任何对于任何链的，我们把；对所有，我们有应用映射，这给了所以．因此,满足Zorn引理的假设。因此,对于每一个，存在一个极大元这样．我们认为如果最大元素是，然后这给了我们这意味着．根据的最大值，我们有这证明了．

表明是完全的子t格吗很明显自．对于任何一个链的，存在于，我们有对所有这意味着．我们应用我们获得；因此, 证明．因此，我们得到。的极大元的存在性根据佐恩的引理。我们认为如果最大元素是，然后对所有．我们以同样的方式进行应用这给了对所有这意味着．从这里很容易看出，事实上我们有最大限度地和对所有表明,最小的元素是什么．宇宙中最大元素存在的证据是对称的。

现在,让是一个非空的集合．我们想要找到，的最大下界在．让我们把．对所有，，作为．因此．因此，顺序递减趋向于的不动点哪个是最大的下界(或最大的下界)在．的建设的最小上界是在如果是对称的。此后, 是一个完全的子t格。

3.保序映射交换族的公共不动点

３.１.主要结果

在本节中，我们给出Tarski定理的推广[4，这意味着任何有限交换族的保序映射都有一个公共不动点。

摘要有限类保序应用的公共不动点的存在性与完全子t格的有限递减序列的交有关。

定理5。让是一个完全的t晶格。然后，任意有限的保序映射交换族(单调映射) ，，有一个共同的不动点。此外，如果我们用公共不动点的集合完全的t格是什么．

证明。我们把，在哪里．让是一个完整的t格，所以集合不动点的是完全的子t格吗4．作为，我们有这意味着对所有．因此，我们可以限制映射来，由于是完全的子t格吗不动点的在是一个完全的子t格。很容易看出这个家庭这样对所有与是一个递减的序列。

现在，我们来看看地图

的地图是单调而集的吗是完全t晶格，那么存在吗这样这意味着这给了和．因此, ．

因此，仍然需要表明这一点是一个完全的子t格。这一点很容易看出这表明,是一个完全的t晶格。

３．２．常见的不动点

在下面，我们研究了定义在完全子t格上的保序映射的交换族的公共不动点的存在性。我们结果的证明遵循Baillon的观点[5]在超凸度量空间和Abu-Sbeih和Khamsi中发展[6在部分有序集上。令人惊讶的是，我们将在完全子t格的情况下发展他们的想法，尽管在完全子t格的证明上有困难，这是因为在完全子t格中，我们并不总是存在它的sup和inf部分。

在部分有序集合中，我们得到如下结果。

让是一个部分有序集是一个给定的运算符颠倒次序，使对所有．然后,

定理6。对于任何非空完全子t格子集的递减族的，在哪里是有向索引集吗不是空的，它是一个完全的子t格。

证明。考虑到家庭一组不是空的，因为．如果我方订购通过包含关系，每条链有一个下界，因为在完全的子t格中，任何递减的非空区间族都有一个非空的交集，它是一个区间，由命题3.．因此,满足Zorn引理的假设。因此,对于每一个，存在一个最小元素这样．我们认为如果是最小的，那么每个呢是一个单例。的确，让我们来解决．我们知道．我们考虑这个新的家庭我们的假设和暗示．此外,我们有对于任何．自是最小的，我们得到对于任何．特别是，我们有如果，那么我们必须和．因此，我们证明了这样

从这里可以很容易地看出，事实上我们做到了通过的极小性，这证明了我们的观点。显然,我们有对于任何这意味着不是空的。

我们会证明的是一个完全的子t格。首先，我们从证明最小和最大元素的存在开始为此，我们考虑:

基于上述原因，我们有:（1）不是空的，因为（2）满足Zorn引理的假设。因此,对于每一个，存在一个最小元素这样（3）如果最小的元素是，然后对所有根据的极小性这给了我们对所有．这就是我们要搜索的结果

其次,让是非空的，这样．我们只会证明sup A存在于．下极小值存在的证明遵循相同的条件．对于任何，我们有．自是完全的子t格吗存在于和家庭是一个不断增长的链条。

现在，我们考虑集合为．然后,的非空完全子t格是什么．很容易看出这个家庭是完全子t晶格的递减链。因此, 难道间隔不是空的吗．显然,我们有完成定理的证明6．

由这个定理，我们得到下列公共不动点结果。

定理7。如果是一个完全t格，那么任何保序映射的交换族，，有一个共同的不动点。此外，如果我们注意到公共点的集合不动点，然后完全的t格是什么．

证明。首先，注意不动点定理(定理2)暗示了任何有限的保序映射交换族，有一个共同的不动点。此外，如果我们用公共不动点的集合，即: 它是一个完全的子t格。让．很明显,是向下的(顺序在哪里是集合包含)。对于任何，一组映射的公共不动点集，，是一个非空完全子t格。显然,这个家庭是减少的。上面的定理暗示了是非空的，它是一个完全的子t格。

[中发现的一个新概念可以放宽交换性假设。6](另见[7，8])。当然，这个新概念最初是在度量设置中定义的;因此，我们将在接下来的工作中将其扩展到部分有序集的情况下，我们将得到与De Marr的结果相似的结果[9没有域的紧性假设。

4.结论

本文通过新的不动点定理，将不动点的Tarski定理推广到有序集。完全t格不动点的原始证明[2是美丽和优雅的，但非建设性的，有点缺乏信息。在[3.，我们给出了一个建设性的证明，概括了塔斯基版本的结果。本文给出了序集上递增应用的不动点集的一个结构，研究了完全子t格上定义的保序交换族映射的公共不动点的存在性。我们接下来的工作是关于超凸度量空间中一些不动点定理的发展。

数据可用性

数据共享不适用于本文，因为在本次研究中没有生成或分析数据集

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

作者感谢代数与分析应用实验室L3A的所有成员。

参考文献

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K. Bouzkoura和D. Misane， "T-格和不动点理论，”不动点理论与应用，第4卷，第25-31页，2009。视图:谷歌学术搜索
不动点定理的构造性证明T格。”不动点理论与应用，第12卷，第2期1, pp. 37-46, 2017。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
A. Tarski，《格理论不动点定理及其应用》，太平洋数学杂志，第5卷，第5期。2，页285-309,1955。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
J. B. Baillon，《非扩张映射与超凸空间》，不动点理论及其应用，第72卷，第11-19页，1988。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
M. Z. Abu-Sbeih和M. A. Khamsi，《关于部分有序集的外部完全子集和公共不动点》，不动点理论与应用， 2011年第5期。1, 2011。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
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《超凸度量空间中的巴拿赫算子对和公共不动点》，《中国科学(d辑)》，非线性分析:理论、方法与应用第74卷第1期17, pp. 5956-5961, 2011。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索

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