抽象性

本文研究极值指数最大似然估计器的存在和一致性 -记录值遵循Dreesetal使用法(2004年)和周(2009年) 我们证明概率方程 -记录值最终接受强一致性解决方案,不限制极值索引,上述研究中情况并非如此。

开工导 言

等一等 ,独立分布随机变量序列(i.d.)具有连续分布函数 .面向每个 ,表示出 顺序统计 -采样 .我们首先回想一下单值极端值理论的一些基本概念假设这一点 归并最大域吸引极值分布 带 ,即有序列 并 中位数 For .参数显示 称极值索引一阶条件 等同于存在辅助函数 中位数 面向所有 ,去哪儿 .详情见De Haan和Ferreira一号并引用其中

估计极值索引 经典极值理论中起重要作用, 文献中建议多估计器,如Hill估计器2Pickands估计器3和瞬时估计器 Dekkers等推荐[4..书籍Beirlant等[5和德海安和费雷拉一号提供良好的估计问题评析

或选条件一号等值 面向所有 ,去哪儿 正函数 右端点 ,即 . 即所谓的Pareto分布函数

基于3斯密特6构造最大似然估计器 解决两个估计方程Drees等[7推导出非文法常态 下限选择为上序统计时,Zhou8详细研究它的存在和一致性 .反之,记录值理论通过例如Resnick二元性定理等与极端值理论密切关联(见2.3.3中[见定理2.3.3九九或尾分布特征描述(例如,[10))少数出版物专门估计极值指数以记录值为基础,例如见Berred11哈立德等[12和阿鲁契和伊姆拉希13..我们准备在本文中调查这一问题,因此我们有兴趣在此建议基于ML估计的替代方法 -记录值

论文组织如下内段2提供概率方程基础 -记录值段内3致力于求得这些方程解决办法的存在和一致性,这些方程证明将在C节中提供4.

二叉似然方程基础 -记录值

记录值在许多现实环境以及涉及自然现象、运动、经济学、可靠性和生命测试数据的许多统计应用中都很重要。钱德勒14首创记录值、记录时间和记录间时间概念分析天气数据参考Arnold等[九九和Nevzorov15并引用它审查记录总论

等一等 整数化定义序列 -记录时间 并 -记录值 (见[16由

类似定序统计条件方法, 我们方程使用下列 mma查找4.

莱马一号面向全部整数 ,条件分布 ,给定 ,和无条件分配 -记录值 因id产生随机变量 ,左转分布

等一等 中间整数满足 并 原封 ,并让

从Lemma一号条件分布 ,给定 ,等同无条件分布 -记录值 因id产生随机变量 ,配发 视之3)近似于泛泛Pareto分布 (见[7))使用此信息,人们可以构建未知参数估计 并 最大似然估计即给 -记录值 ,最大似然函数 带 , ,并 .

注释1观察if , 时间 ,等,最大数 不存在 。然而,此案将不予理会,因为 被视同序列 偏向无限性
概率方程取偏衍生物 最大似然估计极值指数和尺度 并 ,求解概率方程 方程选择 由连续性定义if ,可简化为 顺理成章 贴上 取景11),任根 数组10)满足 .反向,if 非零根 ,获取 求解之道10)很容易检查 小点根 即使在现实中 也必须省略 .

3级存续性

主结果如下定理 表示ML估计符的存在和一致性

定理一假想一号)等待 ,并假设 , 并存数列估计 随机整数 中位数 自始至终 , 此外,如果额外 原封 ,并发 原封 ,去哪儿 辅助函数 in2)

定理2假想一号)等待 .假设,as , 并带概率1, 下下文关系不持有足够大 : 并存数列估计 随机整数 中位数 自始至终 , 此外,如果额外 原封 ,并发

备注2附加条件18号)确保可能性方程的非零解 .解决概率方程 几乎肯定不等于0 拥有密度

4级证明

我们首先回顾以下表示 -记录值等一等 标准指数随机变量id序列 ,偏差总和等一等 位危险函数 .很容易看到 For .自 连续函数 正在严格增加,因此我们有以下表示方式(见关系4.7)p.167 in[17:

从现在起,我们将假设,不失泛泛性 ,For 并 .

证明上方定理前 需要下方ems

emma2序列排序 , ,并 ,和我们一样 , 统一操作 ,去哪儿 最大整数不超出 .

证明先写后写 , 去哪儿 .顺理成章 自始至终 , ,有 Komlós-Major-Tusnády近似18号,19号,我们可以定义维纳过程 中位数 下一步观察 注意第一术语 上个学期Hanson和Russo使用sorem3.2B20码..意指 合并使用25码),28码),29)和以上条件 ,获取 完全证明Lemma

莱马3假想一号)等待 并 原封 .等一等 .之后 任选 ,和我们一样 , 并容 接近0 足够大,我们有

证明写入 ,并记起时间一号)满足 ,众所周知 定时无限化并附索引 e 本地统一 .下位从Lemma2, 原封 ;顺理成章 原封 ,等一等 , ,并 原封 .
类似地,我们注意到 从Lemma2, 面向所有 ,并事实 功能增强,我们有,面向所有人 并 , 并发定理保证 通过同样的论调,我们有 原封 .
接下去,通过使用支配聚合定理 并经过直截了当计算后,我们获取 贴上 .自始至终 , ,并发 .正因如此 面向所有 , .正因如此 .正因如此,才有 ,任选 ;时间 足够大 同样的参数显示 .

注释3Lemma可以证明 .确实,波特不平等问题(见建议0.8.(二) in17)意指,对任何人 ,并存 等,为 并 , .之后,为大家 足够小 由Lemma2, 引导时 ,至 .类似地 .

Lemma4假想一号)等待 并 原封 .等一等 .之后 任选 ,和我们一样 , 并容 接近0 足够大,我们有

证明证据与前一证据相似并简单修改时间段一号)满足 ,众所周知 并 定时无限化并附索引 .写入 从Lemma再次2, ;顺理成章 ,等一等 .
类似地,我们写作 Since, from Lemma2, 面向所有 并观察,为大家 并 , 由支配求同定理 通过同样的论调,我们有 原封 .
接下去,通过使用支配聚合定理 并经过直截了当计算 贴上 .自始至终 , ,并发 .正因如此 面向所有 , .正因如此 .正因如此,才有 ,任选 ;时间 足够大 同样的参数显示 .

Lemma5假想一号)等待 并 原封 .等一等 .之后 任选 自始至终 , 况且 足够大 ,有

证明任意性 ,let 第一,我们有 假设现在2)等待 ,即 ,并 自 单调式,此限值本地均存 .
下一步观察 使用Lemma2顺理成章地为大家 , 自任任任 , 并发后使用支配聚合定理 , 相似性为 并全部 , 并像 , 正因如此 , 注释使用 , 面向所有 ,意指对所有人 并 , .正因如此 并 .
正因如此,足够大 ,几乎确定

证明定理一号.在此,我们只提供证据 .面向 ,证据基本不变
选择合适的正序 原封 ,存在 从Lemma3随机整数 等,对任何人 , 并 .通过平均值定理确保随机变量的存在 as.中位数 as.时间 .
自 功能增强,我们几乎确定 从Lemma3, 并 ;意指 ,即 强一致性
证明几乎确定并发 ,使用事实 , (见Lema1.2.9,p.22中一号))
as , 自来量足够大 , as.s.归根结底 通向 原封 .正因如此 , 通过应用迭代对数法则,我们几乎可以肯定 if 原封 ,并发 .合并函数 定时无限化并附索引 ,一致性 证明为正例

证明定理2.第一,我们选择合适的正序 原封 .取自Lemma4并存随机整数 等,对任何人 , 并 .自经直截了当计算后,我们几乎可以肯定 保证时 足够大 修改0区符号结合事实 并 并有相同的标志 证明几乎可以确定 足够大 ,存在非零根 联想 上 .
回想 正增强函数表示几乎肯定 自 原封 , ,一致性得到证明
现在,我们证明 几乎确定并发 .为此,我们写作 自来量足够大 , as.s.归根结底 通向 原封 .正因如此 , 下方2Lemma讲解2保证 正因如此 归根结底 原封 ,通过应用迭代对数法则 .合并函数 缓慢变化无限性,即对所有人 , (见Lema1.2.9,p.22中一号)一致性 后证明 .

莱马证明一号.回想下表示式 去哪儿 持续危险函数分布函数 , 并 ,独立随机变量显示标准指数分布
随之而来的是,不失泛性 我们知道 ,并依存性 .接下去 独立提供 观察点 危险函数分布函数 .使用以上表示法证明理想结论

数据可用性

未使用数据支持此项研究

利益冲突

作者声明他们没有利益冲突